Человеческое мышление



Понятие предиката

Исчисление высказываний, которое рассматривалось в попереднiх роздiлах, как алгебра высказываний i как формальная аксiоматична теорiя, есть важной i невiд 'емкой составной частью всiх исчислений математической логiки. Однако оно есть слишком бiдним для описания и аналiзу найпростiших логiчних мiркувань науки i практики.

Однiєю по причинам этого есть то, что у численнi высказываний любое простое высказывание рассматривается как вихiдний объект дослiдження, неподiльне цiле, лишенное частей i внутрiшньої структуры, которое имеет лишь одну властивiсть - быть или iстинним, или ошибочным.

Для того, чтобы построить систему правил, которая позволяла бы проводить логiчнi мiркування для выведения нетривiальних правильных висновкiв с учетом строения i змiсту простых высказываний, предлагается формальная теорiя, что дiстала назову Исчисление предикатiв.

Теорiя предикатiв начинается из аналiзу грамматического строя простых высказываний i основывается на таком выводе: простi высказывания выражают тот факт, что деякi объекты или отдельный объект имеют певнi властивостi, или что цi объекты находятся мiж собой в определенном вiдношеннi.

Например, в iстинному висловленнi "3 есть простое число" пiдмет "3" - это объект, а сказуемое "есть простое число" выражает некоторую его властивiсть.

В латинськiй граматицi сказуемое называется Предикатом, звiдси этот термiн i увiйшов в математическую логiку. Главным для логiки предикатiв есть именно вторая составляющая предложения-высказывания - присудок- властивiсть. Она фiксується, а значение объекта предлагается змiнювати так, чтобы каждый раз получать осмисленi предложение, то есть высказывание.

Например, замiнюючи в вышеприведенном висловленнi 3 на 1, 5, 9 или 12, будем иметь вiдповiдно такi высказывания : "1 есть простое число", "5 есть простое число", "9 есть простое число", "12 есть простое число", из которых второе есть iстинним, а остальные - ошибочными высказываниями.

Таким образом, можно рассмотреть выражение " X есть простое число", который не является высказыванием, а есть так называемой Пропозицiйною Висловлювальною Формой. То есть формой или формуляром, пiсля пiдстановки в которую замiсть параметра змiнної X о' єктiв значений из определенного множества M, дiстаємо высказывание.

Аналогiчно можно трактовать, например, пропозицiйнi формы " A является украинцем", " B i C есть однокурсники", " C тяжелее D", или "точка X лежит мiж точками Y i Z". В першi двi из них можно пiдставляти замiсть параметрiв A, B i C прiзвища конкретных людей. В третью замiсть C i D названия любых о' єктiв предметiв, якi имеют вес. Для четвертой множеством M значений змiнних X, Y i Z есть множество точек определенной прямой.

Первая из этих пропозицiйних форм задает, как i в наведенiй ранiше формi, определенную властивiсть для объекта A. Iншi три формы описывают деякi вiдношення мiж вiдповiдними объектами.

Рассмотрев конкретнi примеры i коротко остановившись на мотивацiї и змiстовнiй iнтерпретацiї дальнейших понятий, перейдем к формальным математическим определениям.

N - мiсним предикатом P X1, X2.., Xn на множинi M называется довiльна функцiя типа Mn B, где B={0,1} - бульовий двiйковий алфавiт.

Множество M называется Предметной областью, или Унiверсальною множеством, а X1, X2.., Xn - Предметными змiнними, или Термами предиката P.

Множество елементiв A1, A2.., An Mn таких, что P A1, A2.., An=1 называется Областью iстинностi или Характеристическим множеством предиката P.

Если P A1, A2.., An=1, то згiдно из логiчною iнтерпретацiєю будем говорить, что предикат P есть Iстинним на A1, A2.., An. В противном разi, будем говорить, что предикат P есть Ошибочным.

Взагалi говоря, можно означать так называемый Многосортный предикат, как функцiю типа M1 M2.. Mn B, позволив разным его аргументам принимать значение из рiзних множеств. Iнодi это бывает доцiльним; однако частiше в логiцi предикатiв используют приведенное ранiше определение.

Нетрудно зрозумiти, что пропозицiйна форма есть одним зi способiв задання предиката.

Для N=1 предикат P X называется Одномiсним или Унарным, для N=2 P X, Y - Двомiсним или Бiнарним, для N=3 P X, Y, Z - Трьохмiсним или Тернарним предикатом.

Очевидно, что когда в N-арному предикатi P X1, X2.., Xn зафiксувати деякi M змiнних то есть предоставить им определенных значений из множества M, то получим N- M- мiсний предикат на множинi M. Это позволяет считать высказывание нульмiсними предикатами, якi образовано из багатомiсних предикатiв пiдстановкою замiсть усiх їхнiх параметров определенных значений из предметной областi. Таким образом, высказывание можно рассматривать как редкий случай предиката.

Для довiльної множества M i довiльного N iснує взаимно однозначная вiдповiднiсть мiж сукупнiстю всiх N- мiсних предикатiв на M i множеством всiх N-арних вiдношень на M. А именно, любому предикату P X1, X2.., Xn вiдповiдає вiдношення R такое, что A1, A2.., An R тодi i тiльки тодi, когда P A1, A2.., An=1. Очевидно, что при этом R является областью iстинностi предиката P.

Крiм того, за любой вiдповiднiстю C мiж множествами A i B то есть C A B можно построить бiнарний двосортний предикат P X, Y таким образом: P A, B=1 тодi i тiльки тодi, когда A, B C для A A i B B.

В частности, будь- якiй функцiональнiй вiдповiдностi или функцiї F: Mn M можно поставить в вiдповiднiсть N+1 - мiсний предикат P на M такой, что P A1, A2.., An, An+1=1 тодi i тiльки тодi, когда F A1, A2.., An= An+1.

Следовательно, такi фундаментальнi математичнi понятия как вiдповiднiсть в частности, функцiя, вiдношення, высказывание можно рассматривать как окремi случаи бiльш общего понятия предиката.